Módulo 1, Lección 2: Cómo se Combinan las Probabilidades Independientes
Objetivo
Al terminar esta lección sabrás calcular la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos independientes seguidos, y por qué ese cálculo se hace multiplicando y no sumando, un error que aparece constantemente cuando se habla de rachas. La Lección 1 definió qué es una probabilidad individual; esta lección construye directamente sobre esa base para combinar varias.
Concepto
Dos sucesos son independientes cuando el resultado de uno no cambia en absoluto la probabilidad del otro. Lanzar una moneda dos veces seguidas es el ejemplo más limpio: que salga cara en el primer lanzamiento no altera la moneda, no la calienta ni la desgasta de forma que el segundo lanzamiento sea diferente. Cada lanzamiento parte exactamente de la misma probabilidad, 1 entre 2.
Cuando dos sucesos independientes deben ocurrir ambos, la probabilidad conjunta se calcula multiplicando las probabilidades individuales, nunca sumándolas. Esto se conoce como la regla del producto. La razón por la que se multiplica y no se suma tiene una explicación que se puede verificar contando casos reales, no solo memorizando la fórmula.
Toma una moneda lanzada dos veces. Los resultados posibles son cara-cara, cara-cruz, cruz-cara y cruz-cruz: cuatro combinaciones igual de probables. Solo una de esas cuatro combinaciones es cara-cara. Por tanto, la probabilidad de obtener cara dos veces seguidas es 1 entre 4, que es exactamente 1/2 multiplicado por 1/2. Si en cambio se sumaran las probabilidades, 1/2 más 1/2 daría 1, es decir, certeza absoluta de sacar cara dos veces, lo cual es evidentemente falso, ya que las otras tres combinaciones existen y son igual de posibles.
Cálculo trabajado
Apliquemos esto a la ruleta europea, que tiene 37 casillas numeradas del 0 al 36. La probabilidad de que salga un número rojo en un giro es 18/37, porque hay 18 casillas rojas. La probabilidad de que salga rojo dos giros seguidos es:
18/37 × 18/37 = 324/1.369 ≈ 0,2366, es decir, aproximadamente un 23,66 por ciento.
Comprueba la intuición contra el resultado real en esta tabla:
| Suceso | Probabilidad estimada por intuición común | Probabilidad real calculada |
|---|---|---|
| Rojo una vez | Cerca del 50% | 48,65% (18/37) |
| Rojo dos veces seguidas | "Sigue siendo cerca del 50%" | 23,66% |
| Rojo tres veces seguidas | "Todavía alrededor del 50%" | 11,51% |
La intuición común falla porque trata cada nuevo giro como si no afectara al cálculo acumulado, cuando en realidad cada giro adicional multiplica la probabilidad conjunta por un número menor que 1, y esto la reduce cada vez más rápido. Tres números rojos seguidos ya son menos probables que uno entre ocho.
Cuando los sucesos no son independientes
Todo lo anterior depende de una condición que conviene dejar explícita: la regla del producto tal como se ha aplicado solo funciona sin más si los sucesos son realmente independientes. No todos los juegos de casino cumplen esta condición, y confundir un suceso dependiente con uno independiente lleva a un cálculo incorrecto, no solo a una intuición equivocada.
Las cartas repartidas sin reposición son el ejemplo más claro de sucesos dependientes. En una baraja estándar de 52 cartas hay 4 ases. La probabilidad de que la primera carta repartida sea un as es 4/52. Pero si esa primera carta ya ha salido y era un as, la baraja ha cambiado: quedan 51 cartas y solo 3 ases. La probabilidad de que la segunda carta también sea un as ya no es 4/52, sino 3/51. El cálculo correcto de la probabilidad conjunta es:
4/52 × 3/51 = 12/2.652 ≈ 0,45%.
Si alguien tratara este caso como si fuera independiente, como se hizo con la moneda y la ruleta, calcularía erróneamente 4/52 × 4/52 = 16/2.704 ≈ 0,59%. La diferencia entre 0,45% y 0,59% parece pequeña en este ejemplo, pero demuestra un principio que se vuelve crítico en juegos donde se reparten muchas cartas sin reponer la baraja completa entre manos: tratar sucesos dependientes como si fueran independientes siempre distorsiona el resultado, y la magnitud del error crece cuantos menos elementos queden disponibles.
Esta distinción explica, entre otras cosas, por qué el recuento de cartas es matemáticamente posible en juegos de una sola baraja: la probabilidad de la siguiente carta cambia de verdad según lo que ya ha salido, algo que jamás ocurre en una ruleta o en una máquina tragaperras, donde cada giro es un suceso nuevo e independiente del anterior.
Error común
El error más extendido relacionado con este cálculo es la falacia del jugador: la creencia de que, tras varios giros seguidos de rojo, el negro está "más cerca" de salir para "compensar". Esto es falso porque cada giro es independiente, exactamente igual que la moneda del ejemplo inicial. La ruleta no recuerda los giros anteriores. La probabilidad de que salga rojo en el giro siguiente, después de cinco rojos seguidos, sigue siendo 18/37, ni más ni menos que en el primer giro de la noche.
Es importante distinguir dos preguntas que suenan parecidas pero no lo son. "¿Qué probabilidad hay de que salgan seis rojos seguidos empezando ahora?" es una pregunta sobre una secuencia futura completa, y esa probabilidad sí es muy baja, aproximadamente 1,33 por ciento según la regla del producto aplicada seis veces. Pero "¿qué probabilidad hay de que salga rojo en el próximo giro, dado que ya han salido cinco rojos?" es una pregunta distinta, y la respuesta sigue siendo 48,65 por ciento, porque el pasado ya ocurrió y no forma parte del cálculo del giro siguiente. Confundir estas dos preguntas es exactamente la falacia del jugador.
La otra regla que se confunde con esta
Existe una regla hermana que conviene distinguir con claridad, porque se confunde con frecuencia con la regla del producto. Cuando la pregunta es si ocurre un suceso u otro, en un mismo giro, y ambos sucesos no pueden ocurrir a la vez, la probabilidad se calcula sumando, no multiplicando. Esta es la regla de la suma, y se aplica a preguntas de tipo distinto a las vistas hasta ahora.
Por ejemplo, la probabilidad de que un giro de la ruleta europea caiga en rojo o en el número 0 es la suma de ambas probabilidades individuales, porque un giro no puede ser rojo y cero a la vez: 18/37 + 1/37 = 19/37 ≈ 51,35 por ciento. Nótese la diferencia de estructura frente al cálculo de la sección anterior: ahí se preguntaba por dos giros distintos que debían cumplirse ambos, aquí se pregunta por dos resultados posibles dentro de un único giro, de los cuales basta que ocurra uno. La regla que corresponde a cada pregunta depende de esta estructura, no de una elección arbitraria entre sumar o multiplicar.
Confundir estas dos reglas produce errores en ambas direcciones: sumar cuando corresponde multiplicar infla la probabilidad estimada de una secuencia, tal como se vio al principio de esta lección con el ejemplo de la moneda, mientras que multiplicar cuando corresponde sumar infravalora la probabilidad de un solo giro con varios resultados favorables.
Esta misma regla del producto es la que explica por qué una apuesta combinada, con varios eventos deportivos independientes encadenados en un mismo boleto, tiene una probabilidad de acierto mucho menor que la de acertar cada evento por separado, aunque cada selección individual parezca razonable. Tres selecciones con una probabilidad estimada del 70 por ciento cada una, si son independientes entre sí, dan una probabilidad conjunta de 0,70 × 0,70 × 0,70 ≈ 34,3 por ciento, muy lejos del 70 por ciento que cada pierna aislada sugiere a primera vista. Cuantas más selecciones se combinan, más rápido cae la probabilidad conjunta, exactamente por la misma razón matemática que los rojos consecutivos de la ruleta.
Resumen
La regla del producto dice que la probabilidad de que ocurran varios sucesos independientes seguidos se calcula multiplicando sus probabilidades individuales, y este cálculo hace que las probabilidades caigan más rápido de lo que la intuición suele anticipar. La falacia del jugador surge de confundir la probabilidad de una secuencia completa observada desde el principio con la probabilidad del siguiente suceso aislado, que nunca cambia por lo que ya ha pasado.
Ni este cálculo ni ningún otro basado en sucesos pasados cambia la ventaja de la casa en la ruleta europea, que sigue siendo del 2,70 por ciento en cualquier giro, se calcule antes o después de cualquier racha observada.
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