Módulo 1, Lección 3: Frecuencia, Probabilidad y la Ley de los Grandes Números
Objetivo
Al terminar esta lección sabrás distinguir la probabilidad de un suceso de la frecuencia con la que lo observas, calcular cuánto se aleja una serie corta de lo esperado, y explicar por qué la ley de los grandes números no obliga a ningún resultado a "compensar". La Lección 2 enseñó a combinar sucesos independientes. Esta lección cierra el Módulo 1 mirando qué pasa cuando esos sucesos se repiten muchas veces.
Concepto
La probabilidad es una propiedad del mecanismo: una moneda equilibrada tiene probabilidad 1/2 de caer cara, y eso no cambia nunca. La frecuencia es lo que registras al observar: si lanzas la moneda 10 veces y salen 7 caras, la frecuencia observada es 7/10, es decir, 70 por ciento.
La ley de los grandes números dice que, cuando el número de repeticiones crece, la proporción de caras se acerca a 1/2. No dice nada sobre la cantidad de caras de más o de menos. Esa diferencia entre proporción y cantidad es el centro de la lección.
Cálculo trabajado
Empecemos por algo que puedes comprobar con una calculadora. En 10 lanzamientos hay 2^10 = 1.024 secuencias posibles igual de probables. De ellas, las que tienen exactamente 5 caras son las combinaciones de 10 elementos tomados de 5 en 5, que son 252. Por tanto:
P(exactamente 5 caras en 10) = 252/1.024 ≈ 24,61 %.
Tres de cada cuatro series de 10 lanzamientos no dan un reparto exacto al 50 por ciento. Y ninguna de ellas indica que la moneda esté desequilibrada.
Ahora escalamos. Con el mismo método, la probabilidad de obtener exactamente la mitad de caras es:
| Lanzamientos | Exactamente la mitad de caras | Proporción de caras entre 40 % y 60 % |
|---|---|---|
| 10 | 24,61 % | 65,63 % |
| 100 | 7,96 % | 96,48 % |
| 1.000 | Menos del 3 % | Más del 99,99 % |
Fíjate en que las dos columnas van en direcciones opuestas. Cuantos más lanzamientos, menos probable es acertar la mitad exacta y más probable es que la proporción quede cerca del 50 por ciento. Las dos cosas son ciertas a la vez.
La explicación está en la escala del error. Con 100 lanzamientos, una desviación típica de 5 caras supone un 5 por ciento de la muestra. Con 10.000 lanzamientos, la desviación típica es de 50 caras, diez veces más en cantidad, pero solo un 0,5 por ciento de la muestra. La cantidad de caras de más o de menos tiende a crecer en valor absoluto, mientras que su peso relativo se diluye.
Intuición frente a probabilidad real
| Afirmación intuitiva | Lo que dice el cálculo |
|---|---|
| "Con 10 lanzamientos debería salir 5 y 5" | Solo ocurre en el 24,61 % de las series |
| "Si van 7 caras en 10, ahora vendrán cruces para equilibrar" | El siguiente lanzamiento sigue teniendo probabilidad 1/2 |
| "A largo plazo, las caras y las cruces acaban igualadas en número" | Se iguala la proporción, no el número |
Aplicación a la ruleta europea
En la ruleta europea, con 37 casillas, la probabilidad de rojo es 18/37 ≈ 48,65 %. Esa cifra no se ve nunca en una sesión corta. En 37 giros lo esperado son 18 rojos, pero salir 13 o 23 es perfectamente normal: la desviación típica en 37 giros ronda los 3 rojos.
Lo que sí se ve a muy largo plazo es la proporción acercándose al 48,65 %. Y con ella, la ventaja de la casa acercándose a su valor teórico. En una apuesta a número pleno, que paga 35 a 1:
Valor por euro apostado = (1/37) × 35 + (36/37) × (menos 1) = menos 1/37 ≈ menos 2,70 %.
Una sola apuesta a pleno de 10 euros acaba ganando 350 euros o perdiendo 10 euros, nunca perdiendo 0,27 euros. El menos 2,70 % solo aparece como promedio de muchísimas apuestas. Esto adelanta el tema del Módulo 2.
Error común
El error más extendido es leer la ley de los grandes números como una ley de compensación. Si en 20 giros han salido 14 rojos, la ley no predice que ahora vengan negros. Predice algo más aburrido: que los próximos 1.000 giros se repartirán según 18/37, y esos 1.000 giros diluirán los 14 rojos iniciales hasta que pesen muy poco en la proporción total.
El exceso inicial no se corrige. Se diluye. Cualquier sistema que apueste esperando la corrección está apostando contra una propiedad que la ruleta no tiene, y ningún sistema así cambia el valor esperado de menos 2,70 % por euro.
Resumen
Probabilidad y frecuencia son cosas distintas: la primera es fija, la segunda fluctúa. En series cortas, la frecuencia observada se aleja a menudo de la probabilidad, y eso no revela nada sobre el mecanismo. En series largas, la proporción converge, aunque la diferencia absoluta pueda seguir creciendo. La ley de los grandes números habla de proporciones y de dilución, nunca de compensación.
Ninguna comprensión de esta ley cambia la ventaja de la casa. En la ruleta europea sigue siendo del 2,70 % por euro apostado, juegues diez giros o diez mil. Con esta lección se cierra el Módulo 1. La Lección 1 del Módulo 2 empieza a calcular esa ventaja de la casa apuesta por apuesta.
Juego responsable
Que la proporción converja a largo plazo significa que las pérdidas esperadas también convergen, y que una racha buena no es una tendencia que se pueda aprovechar. Juega solo en operadores con licencia de la DGOJ y solo si eres mayor de 18 años. En jugarbien.es tienes herramientas de autoevaluación, y el RGIAJ permite autoexcluirse de todos los operadores con licencia española a la vez.